sup, inf 与 min, max 的意思和区别

sup, inf 与 min, max 的意思和区别

inf 是 infimum 的简称,sup 是 supremum 的简称。

使用 inf 或 sup 总能保证一个函数的 inf 或 sup 存在,而函数的 min 或 max 有时候不存在。例如函数: f ( x ) = sin ⁡ ( x ) / x f(x)=\sin(x)/xf(x)=sin(x)/x 的图像:
sup, inf 与 min, max 的意思和区别

该函数在 x = 0 x=0x=0 处没有值,因此其最大值即 max 不存在,但是我们可以看出 f ( x ) f(x)f(x) 最小的上界为 1(不小于它最大值的值,都是它的上界),即 sup ⁡ f ( x ) = 1 \sup f(x)=1supf(x)=1

sup 的定义:一个集合最小的上界
inf 的定义:一个集合最大的下界


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